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<html>
	<head>    
    <title>Rotaciones</title>    
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    <div id="top">
      <h1>Rotaciones</h1> 
    </div>
    <div id="main">
      <h2>Contenido</h2>
      <div class="contents">
        <ol>
          <li><a href="#intro">Introducci&oacute;n a las rotaciones</a></li>
          <li><a href="#pas_act">Rotaciones activas y pasivas</a></li>
          <li><a href="#euler">&Aacute;ngulos de Euler</a></li>
          <li><a href="#int">Rotaciones intr&iacute;nsecas</a></li>
          <li><a href="#ext">Rotaciones extr&iacute;nsecas</a></li>
          <li><a href="#int_ext">Relaci&oacute;n entre la rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca y extr&iacute;nseca</a></li>
          <li><a href="#refs">Referencias</a></li>
        </ol>
      </div>
      <h2 id="intro">Introducci&oacute;n a las rotaciones</h2>
      <div class="contents">
        <p>Las rotaciones, en mi opinion, son uno de los temas m&aacute;s interesantes en los que se pueden aplicar las matrices y la geometr&iacute;a. Manejar esta teor&iacute;a hace sentir que uno tiene cierto grado de dominio de la realidad que uno v&eacute; >:] Para empezar a caracterizar esta operaci&oacute;n de naturaleza geom&eacute;trica es necesario el uso de ejemplo visuales.</p>
        <br>
        <p>A continuaci&oacute;n se muestra un sistema de referencia <code>S</code> bidimensional de ejes coordenados <code>1</code> y <code>2</code>.</p>
        <img src="../../images/model2/intro1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 1: Sistema de referencia <code>S</code> con ejes coordenados <code>1</code> y <code>2</code>.</p>
        
        <p>Quiero crear un sistema <code>S^</code> que est&eacute; rotado un angulo <code>&theta;</code> en sentido antihorario respecto al sistema <code>S</code>.</p>
        <img src="../../images/model2/intro2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 2: Sistema de referencia <code>S^</code> con ejes coordenados <code>1^</code> y <code>2^</code>.</p>
        
        <p>Si se intentan proyectar los vectores del sistema <code>S^</code> sobre los del sistema <code>S</code> se obtienen las siguientes ecuaciones</p>
        <img src="../../images/model2/intro3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 3: Vectores del sistema <code>S^</code> proyectados sobre el sistema <code>S</code>.</p>
        <p>a partir de las cuales se puede formar el siguiente arreglo matricial.</p>
        <img src="../../images/model2/intro4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 4: Ecuaciones del sistema de la Fig. 3 escritas en un arreglo matricial.</p>
        
        <p>El sistema de la <b>Fig. 4</b> contiene una matriz de <code>2x2</code> (denominada <i>matriz de coeficientes</i>) que <b>transforma</b> (en este caso) los vectores <code>1</code> y <code>2</code> del sistema <code>S</code> en los vectores <code>1^</code> y <code>2^</code> del sistema <code>S^</code>. Con s&iacute;mbolos, la matriz <code>A</code> de la figura puede hacer la transformaci&oacute;n de elementos <code>S&rarr;S^</code>. Esta misma matriz puede usarse para transformar puntos o vectores. Por ejemplo, el vector de <code>S</code> <code>v = (0, 1)</code> es proyectado al sistema <code>S^</code> como el vector <code>v^ = (sin&theta;, cos&theta;)</code>. En la siguiente imagen puede verse dicha transformaci&oacute;n.</p>
        <p><b>Nota:</b> El sistema matricial de la <b>Fig. 4</b> no es usual ya que los elementos <code>1</code>, <code>2</code>, <code>1^</code> y <code>2^</code> no son escalares sino vectores.</p>
        <img src="../../images/model2/intro5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 5: Transformaci&oacute;n del vector de <code>S</code>, <code>v = (0, 1)</code>, al sistema <code>S^</code>.</p>
        
        <p>M&aacute;s all&aacute; de un simple cambio de sistema, veamos lo que le hace esta matriz a un vector de <code>S</code> si el vector resultante se forza a ser escrito en el mismo sistema de origen <code>S</code>.</p>        
        <img src="../../images/model2/intro6.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 6: Transformaci&oacute;n del vector de <code>S</code>, <code>v = (0, 1)</code>, representado en el sistema <code>S</code>.</p>
        <p>El vector resultante est&aacute; <i>rotado</i> <code>&theta;</code> grados del vector original.</p>
        <br>
        <p>Con lo mostrado, se puede ver que la <i>matriz de rotaci&oacute;n</i> <code>A</code> tiene 2 significados distintos dependiendo del contexto en el que se est&eacute; usando:</p>        
        <ul>
          <li><b>En primer lugar:</b> Determina la existencia de un sistema de coordenadas <code>S^</code> que parte del sistema <code>S</code> que puede verse como un sistema <code>S</code> <i>rotado</i> un &aacute;ngulo <code>&theta;</code> (sentido antihorario) al que pueden proyectarse los elementos del sistema <code>S</code> original (sin transformaciones).</li>        
          <li><b>En segundo lugar:</b> Crea un elemento, a partir de un elemento de <code>S</code>, que representado en <code>S</code> se encuentra <i>rotado</i> en un &aacute;ngulo <code>&theta;</code> (sentido horario) respecto al elemento original.</li>
        </ul>
        <p>Estas 2 propiedades dan pie a las definiciones de <b>rotaci&oacute;n pasiva y rotaci&oacute;n activa</b> respectivamente.</p>
        <br>
        <p>Adicionalmente, se tienen las siguientes propiedades de las matrices de rotaci&oacute;n:</p>
        <ul>
          <li>La inversa de una matriz de rotaci&oacute;n representa la rotaci&oacute;n opuesta, es decir, si una matriz de rotaci&oacute;n define una rotaci&oacute;n en <code>&theta;</code> entonces la inversa define una rotaci&oacute;n en <code>-&theta;</code></li>
          <li>
            <p>Se puede generar una matriz de rotaci&oacute;n que represente la aplicaci&oacute;n de diversas matrices de rotaci&oacute;n simples como sigue (en orden)</p>
            <img src="../../images/model2/intro7.jpg" alt="Image could not be loaded.">
            <p class="idtext">Fig. 6: Producto de matrices de rotaci&oacute;n.</p>
            <p>Esto se lee:</p>
            <ul>
              <li>Se comienza con la rotaci&oacute;n <code>A</code></li>
              <li>Despu&eacute;s de la rotaci&oacute;n <code>A</code> se aplica la rotaci&oacute;n <code>B</code> (opera a la izquierda de <code>A</code>)</li>
              <li>Despu&eacute;s de la rotaci&oacute;n <code>B</code> se aplica la rotaci&oacute;n <code>C</code> (opera a la izquierda de <code>B</code>)</li>
              <li>...</li>
            </ul>
            <p>De esta forma pueden encadenarse rotaciones para entonces generar una matriz de rotaci&oacute;n final <code>R</code> que puede aplicarse (por la izquierda) al elemento que se quiere transformar.</p>
          </li>
        </ul>
      </div>
      <h2 id="pas_act">Rotaciones pasivas y activas</h2>
      <div class="contents">
        <p>De la secci&oacute;n anterior pudo verse que la matriz de rotaci&oacute;n A tiene 2 significados dependiendo del contexto. Esos usos describen las rotaciones pasivas y las rotaciones activas. Si se tiene un sistema de referencia <code>S</code> y elementos pertenecientes a <code>S</code>:</p>
        <ul>
          <li><b>Las rotaci&oacute;n pasiva</b> consiste en transformar los elementos de un sistema <code>S</code> al crear un sistema secundario <code>S^</code> a partir del cual dichos elementos <i>se ven rotados</i>. <i>Rota indirectamente</i> los elementos de <code>S</code> ya que la rotaci&oacute;n es aplicada al observador (sistema de referencia) y no a los elementos.</li>
          <li><b>Las rotaci&oacute;n activa</b>, en cambio, consiste en transformar los elementos de un sistema <code>S</code> modificando la posici&oacute;n de dichos elementos directamente. <i>Activamente</i>  se estan transformando los elementos para ubicarse de forma diferente bajo el mismo sistema <code>S</code>.</li>
        </ul>
        <img src="../../images/model2/pas_act1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 7: Rotaci&oacute;n pasiva (izquierda) vs activa (derecha).</p>
      </div>
      <h2 id="euler">&Aacute;ngulos de Euler</h2>
      <div class="contents">
        <p>Los &aacute;ngulos de Euler (pronunciado en espa&ntilde;ol como <i>Oiler</i>) son un conjunto de 3 &aacute;ngulos que sirven para describir cualquier direcci&oacute;n en un sistema de coordenadas tridimensional. Fueron desarrollados por Leonhard Euler para describir el movimiento de rotaci&oacute;n de s&oacute;lidos r&iacute;gidos.</p>
        <br>
        <p>Hasta el momento conozco de 2 implementaciones de dichos &aacute;ngulos, una usada para descripciones de movimientos de cuerpos en f&iacute;sica y otra usada para programas de modelado 3D. Estas son, las <b>rotaciones intr&iacute;nsecas</b> y las <b>rotaciones extr&iacute;nsecas</b>.</p>
      </div>
      <h2 id="int">Rotaciones intr&iacute;nsecas</h2>
      <div class="contents">
        <p><i>Las rotaciones intr&iacute;nsecas</i> son un tipo de rotaci&oacute;n en el que los ejes a trav&eacute;s de los cuales se hacen las rotaciones van transform&aacute;ndose a medida que se aplican las rotaciones. Es decir, ocurre una primera rotaci&oacute;n y la siguiente ocurre en un eje que fue afectado por la rotaci&oacute;n anterior.</p>
        <br>
        <p>Vamos a visualizar el proceso, rotaci&oacute;n por rotaci&oacute;n. Se usar&aacute; la notaci&oacute;n de sistemas de referencia implementada por el <i>Prof. Desloge</i> en su libro <i>Classical Mechanics</i> citado en las referencias.</p>
        <br>
        <p>Primero, se tiene el siguiente sistema de referencia tridimensional <code>S</code> de ejes perpendiculares <code>1</code>, <code>2</code> y <code>3</code>.</p>
        <img src="../../images/model2/int1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 8: Sistema de referencia <code>S</code> con sus ejes perpendiculares.</p>
        
        <p>Se realiza la primera rotaci&oacute;n alrededor del eje <code>3</code> y se genera el sistema <code>S^</code> con ejes perpendiculares <code>1^</code>, <code>2^</code> y <code>3^</code>. Como la rotaci&oacute;n se realiza respecto al eje <code>3</code> entonces los ejes <code>3</code> y <code>3^</code> se encuentran uno sobre el otro.</p>
        <img src="../../images/model2/int2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 9: Sistema de referencia <code>S^</code> con sus ejes perpendiculares (verde).</p>
        <p>A partir de la imagen, se puede obtener la matriz de transformaci&oacute;n <code>S&rarr;S^</code> proyectando los vectores de <code>S^</code> en <code>S</code> como sigue.
        <img src="../../images/model2/int3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 10: Obtenci&oacute;n de la matriz de transformaci&oacute;n <code>S&rarr;S^</code></p>
        
        <p>Se realiza la segunda rotaci&oacute;n alrededor del eje <code>1^</code> y se genera el sistema <code>S&DiacriticalTilde;</code> con ejes perpendiculares <code>1&DiacriticalTilde;</code>, <code>2&DiacriticalTilde;</code> y <code>3&DiacriticalTilde;</code>. Como la rotaci&oacute;n se realiza respecto al eje <code>1^</code> entonces los ejes <code>1^</code> y <code>1&DiacriticalTilde;</code> se encuentran uno sobre el otro.</p>
        <img src="../../images/model2/int4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 11: Sistema de referencia <code>S&DiacriticalTilde;</code> con sus ejes perpendiculares (azul).</p>
        <p>A partir de la imagen, se puede obtener la matriz de transformaci&oacute;n <code>S^&rarr;S&DiacriticalTilde;</code> proyectando los vectores de <code>S&DiacriticalTilde;</code> en <code>S^</code> como sigue.
        <img src="../../images/model2/int5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 12: Obtenci&oacute;n de la matriz de transformaci&oacute;n <code>S^&rarr;S&DiacriticalTilde;</code></p>
        
        <p>Se realiza la tercera rotaci&oacute;n alrededor del eje <code>3&DiacriticalTilde;</code> y se genera el sistema <code>S&oline;</code> con ejes perpendiculares <code>1&oline;</code>, <code>2&oline;</code> y <code>3&oline;</code>. Como la rotaci&oacute;n se realiza respecto al eje <code>3&DiacriticalTilde;</code> entonces los ejes <code>3&DiacriticalTilde;</code> y <code>3&oline;</code> se encuentran uno sobre el otro.</p>
        <img src="../../images/model2/int6.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 13: Sistema de referencia <code>S&oline;</code> con sus ejes perpendiculares (rojo).</p>
        <p>A partir de la imagen, se puede obtener la matriz de transformaci&oacute;n <code>S&DiacriticalTilde;&rarr;S&oline;</code> proyectando los vectores de <code>S&oline;</code> en <code>S&DiacriticalTilde;</code> como sigue.
        <img src="../../images/model2/int7.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 14: Obtenci&oacute;n de la matriz de transformaci&oacute;n <code>S&DiacriticalTilde;&rarr;S&oline;</code></p>
        
        <br>
        <p>Con las matrices de coeficientes de las <b>Figs. 10, 12 y 14</b> se puede generar una sola matriz que abarque las 3 rotaciones y sirva entonces para proyectar un vector de <code>S</code> directamente en <code>S&oline;</code>.</p>
        <img src="../../images/model2/int8.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 15: Obtenci&oacute;n de la matriz de transformaci&oacute;n <code>S&rarr;S&oline;</code></p>
        
        <br>
        <p>Como al final lo que se quiere es rotar un elemento en los angulos <code>&phi;</code>, <code>&theta;</code> y <code>&psi;</code> mostrados en las imagenes, y por lo concluido al final de la <a href="#intro">primera secci&oacute;n de la p&aacute;gina</a>, la matriz de rotaci&oacute;n que rotar&aacute; un elemento en <code>S</code> bajo el sistema de rotaci&oacute;n intr&iacute;nseco mostrado en las figuras es:</p>
        
        <img src="../../images/model2/int9.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 16: Obtenci&oacute;n de la matriz de rotaci&oacute;n intr&iacute;nsica en 3 dimensiones.</p>
        <p><b>Nota:</b> Las matrices de rotaci&oacute;n obtenidas son <a href="model1.html#orto">ortogonales</a>.</p>
        <hr>
        <p>Video ilustrando cada rotaci&oacute;n en el proceso de rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca explicado (hecho en <b>Blender 2.79</b>)</p>
        <iframe class="embed" src="https://www.youtube.com/embed/UP_kfT-rw0Q?si=i_x1xFOBIDcc4vin" title="YouTube Video Player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>
        <p class="idtext">Vid. 1: Video ilustrativo del proceso de rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca.</p>
        <hr>
        <p>En las figuras anteriores se ilustr&oacute; la rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca tridimensional, sin embargo, no se explic&oacute; el porqu&eacute; de la elecci&oacute;n de cada eje para realizar cada rotaci&oacute;n. Bueno, no puedo explicar el porqu&eacute; pero si puedo decir que los ejes de rotaci&oacute;n a escoger est&aacute;n definidos de la siguiente forma:</p>
        <ol>
          <li>Se selecciona un eje del sistema <code>S</code> (cualquiera entre <code>1</code>, <code>2</code> y <code>3</code>).</li>
          <li>Luego, se selecciona un eje del sistema <code>S^</code> que sea <i>diferente en n&uacute;mero</i> del que se escogi&oacute; para la primera rotaci&oacute;n. Es decir, si se escogi&oacute; el eje <code>3</code> para la primera rotaci&oacute;n, <b>se puede</b> seleccionar entre los ejes <code>1^</code> o <code>2^</code> para realizar la segunda rotaci&oacute;n.</li>
          <li>Finalmente, para la tercera rotaci&oacute;n, se selecciona el eje del sistema <code>S&DiacriticalTilde;</code> que posea <i>el mismo n&uacute;mero</i> que el eje que se escogi&oacute; para la primera rotaci&oacute;n. Es decir, si se seleccion&oacute; el eje <code>3</code> para la primera rotaci&oacute;n, en la tercera rotaci&oacute;n <b>se tiene</b> que escoger al eje <code>3&DiacriticalTilde;</code>.</li>
        </ol>
        <p>Las reglas de escogencia mencionadas tienen el prop&oacute;sito de permitir que el movimiento de rotaci&oacute;n realmente pueda describir cualquier direcci&oacute;n en el espacio 3D. Si se escogen los ejes de rotaci&oacute;n arbitrariamente entonces se tiene el riesgo de "perder grados de libertad" en el proceso. Con estas reglas, las rotaciones intr&iacute;nsecas tienen diferentes variaciones, la explicada en esta p&aacute;gina es el tipo de rotaci&oacute;n <code>3&rarr;1^&rarr;3&DiacriticalTilde;</code> (o <code>313</code> para ser m&aacute;s coloquial) pero puede existir la rotaci&oacute;n <code>2&rarr;1^&rarr;2&DiacriticalTilde;</code>, <code>3&rarr;2^&rarr;3&DiacriticalTilde;</code>, <code>1&rarr;2^&rarr;1&DiacriticalTilde;</code>, etc.</p>
      </div>
      <h2 id="ext">Rotaciones extr&iacute;nsecas</h2>
      <div class="contents">
        <p>Las <i>rotaciones extr&iacute;nsecas</i>, en contraste con las <a href="#int">intr&iacute;nsecas</a>, son un tipo de rotaci&oacute;n en el que los ejes de rotaci&oacute;n a utilizar son todos de un mismo sistema de referencia, el sistema base <code>S</code>.</p>
        <br>
        <p>Vamos a ver cada rotaci&oacute;n individual, se usar&aacute; la misma notaci&oacute;n que se us&oacute; en la secci&oacute;n anterior.</p>
        <br>
        <p>Como las rotaciones se hacen desde un solo sistema de referencia y se deben hacer 3 rotaciones (por los 3 &aacute;ngulos de Euler) entoces se debe hacer una rotaci&oacute;n en cada eje del sistema <code>S</code>, como sigue</p>
        <hr>
        <p><b>Rotaci&oacute;n a lo largo del eje <code>1</code></b></p>
        <img src="../../images/model2/ext1.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 17: Rotaci&oacute;n alrededor del eje <code>1</code>.</p>
        <p>Al proyectar los vectores del sistema <code>S^</code> sobre el sistema <code>S</code> se obtiene la siguiente matriz de transformaci&oacute;n:</p>
        <img src="../../images/model2/ext2.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 18: Obtenci&oacute;n de la matriz <code>S&rarr;S^</code>.</p>
        <hr>
        <p><b>Rotaci&oacute;n a lo largo del eje <code>2</code></b></p>
        <img src="../../images/model2/ext3.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 19: Rotaci&oacute;n alrededor del eje <code>2</code>.</p>
        <p>Al proyectar los vectores del sistema <code>S&DiacriticalTilde;</code> sobre el sistema <code>S</code> se obtiene la siguiente matriz de transformaci&oacute;n:</p>
        <img src="../../images/model2/ext4.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 20: Obtenci&oacute;n de la matriz <code>S&rarr;S&DiacriticalTilde;</code>.</p>
        <hr>
        <p><b>Rotaci&oacute;n a lo largo del eje <code>3</code></b></p>
        <img src="../../images/model2/ext5.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 21: Rotaci&oacute;n alrededor del eje <code>3</code>.</p>
        <p>Al proyectar los vectores del sistema <code>S&oline;</code> sobre el sistema <code>S</code> se obtiene la siguiente matriz de transformaci&oacute;n:</p>
        <img src="../../images/model2/ext6.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 20: Obtenci&oacute;n de la matriz <code>S&rarr;S&oline;</code>.</p>
        <hr>
        
        <p>Por lo concluido en la primera secci&oacute;n de esta p&aacute;gina, las matrices de rotaci&oacute;n activa respectivas son:</p>
        <img src="../../images/model2/ext7.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 21: Matrices de rotaci&oacute;n extr&iacute;nsecas <code>R</code>.</p>
        <p>Estas matrices se pueden aplicar en el orden deseado dando lugar a diferentes variaciones de sistemas de rotaci&oacute;n extr&iacute;nsecos. El sistema usual usado en <b>Blender 2.79</b> (programa de modelado 3D) es uno extr&iacute;nseco denominado <code>Euler XYZ</code>. Lo que esto significa es que las matrices de rotaci&oacute;n extr&iacute;nsecas obtenidas se aplican en el orden <code>123</code>, es decir, primero la matriz de rotaci&oacute;n en <code>1</code>, luego la matriz de rotaci&oacute;n en <code>2</code> y por &uacute;ltimo la matriz de rotaci&oacute;n en <code>3</code>.</p>
        <img src="../../images/model2/ext8.jpg" alt="Image could not be loaded.">
        <p class="idtext">Fig. 22: Matriz de rotaci&oacute;n extr&iacute;nseca <code>123</code>.</p>
        
        <hr>
        <p>Video ilustrando cada rotaci&oacute;n en el proceso de rotaci&oacute;n extr&iacute;nseca explicado (hecho en <b>Blender 2.79</b>)</p>
        <iframe class="embed" src="https://www.youtube.com/embed/nOdKbTYBbEA?si=oIhUH4uD-R7HgK33" title="YouTube Video Player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe>
        <p class="idtext">Vid. 2: Video ilustrativo del proceso de rotaci&oacute;n extr&iacute;nseca.</p>
        <hr>
      </div>
      <h2 id="int_ext">Relaci&oacute;n entre la rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca y extr&iacute;nseca</h2>
      <div class="contents">
        <p>Despu&eacute;s de haber le&iacute;do las 2 secciones anteriores, te podr&aacute;s preguntar, &iquest;Porqu&eacute; no se usa nada m&aacute;s la rotaci&oacute;n extr&iacute;nseca que es mucho m&aacute;s f&aacute;cil de ver? No es por lo f&aacute;cil de su usar/entender, es por el uso que se le va a dar. Las rotaciones intr&iacute;nsecas sirven para simplificar enormemente calculos f&iacute;sicos orientados a centros de masa y momentos de inercia (se usa mayormente para aplicar rotaciones a sistemas de referencia) ya que se cambia el sistema de referencia desde el cual se miden dichas caracter&iacute;sticas, y las extr&iacute;nsecas son solo las rotaciones absolutas respecto a un sistema de coordenadas (se usa mayormente para aplicar rotaciones a elementos de un sistema) que ayudan enormemente en el proceso de modelado 3D.</p>
        <br>        
        <p>Esto no significa que ambos m&eacute;todos de rotaci&oacute;n son completamente diferentes, en absoluto, una rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca se puede escribir como una rotaci&oacute;n extr&iacute;nseca y viceversa. Los angulos entre rotaciones son diferentes ya que se refieren a distintos sistemas de coordenadas. La primera rotaci&oacute;n intr&iacute;nseca es igual (en naturaleza) a la primera rotaci&oacute;n extr&iacute;nseca, ya a partir de la segunda rotaci&oacute;n las cosas son diferentes.</p>
      </div>
      <h2 id="refs">Referencias</h2>
      <div class="contents">
        <ul>
          <li>Classical Mechanics, Volume 1, Edward A. Desloge</li>
          <li><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Euler">https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Euler</a></li>
          <li><a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_activa_y_pasiva">https://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_activa_y_pasiva</a></li>
        </ul>
      </div>
    </div>
	</body>
</html>
